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Markov Chain

Was ist eine Markov Chain?

Eine Markov Chain ist ein spezieller stochastischer Prozess. Das Ziel besteht darin, bei Anwendung dieser Kette Wahrscheinlichkeiten für zukünftige Ereignisse anzugeben. Diese Markov Kette ist so definiert, dass auch bei Kenntnis von einer nur begrenzten Vorgeschichte eine ebenso gute Prognose über eine zukünftige Entwicklung möglich ist wie bei einer Kenntnis von der gesamten Vorgeschichte eines Prozesses.

Man kann die Markov Ketten nach unterschiedlicher Ordnung unterscheiden. So ist eine Markov Kette erster Ordnung so definiert, dass der zukünftige Zustand eines Prozesses nur durch den aktuellen Zustand bedingt ist und nicht durch vergangene Zustände beeinflusst wird. Die mathematische Formulierung kann im Fall einer endlichen Zustandsmenge lediglich den Begriff einer diskreten Verteilung und einer bedingten Wahrscheinlichkeit benötigen und im zeitstetigen Fall die Konzepte einer Filtration sowie einer bedingten Erwartung benötigen.

Markov Ketten können hervorragend eingesetzt werden um zufällige Zustandsänderungen in einem System zu modellieren, falls es einen Grund zur Annahme gibt, dass die Zustandsänderungen nur über begrenzte Zeiträume hinweg Einfluss aufeinander haben oder sie gar gedächtnislos sind.

Es gibt diskrete, endliche Markov Ketten und diskrete unendliche Markov Ketten.

Wozu dienen Markov Ketten?

Markov Ketten sind einfache und anschauliche Modelle um realweltliche Vorgänge mathematisch genau abzubilden. So ist es so, dass bei bekannten und konstant angenommenen Wahrscheinlichkeiten es möglich ist, dass der wahrscheinliche Zustand eines Systems für beliebige Zukunft vorhersagbar ist. Es sind Markov Ketten die Grundlage für stochastische Prozesse, die einerseits auf gedächtnislosem Zufall basieren können, andererseits bei Zustandsübergängen zu jeweils gegebenen Wahrscheinlichkeiten möglich sein können. Die Markov-Ketten können generelle Stochastische Petrinetze modellieren und Rankings aufgrund von subjektiven Empfehlungen.

Welche Anwendungsgebiete gibt es?

Markov Chain kommt beispielsweise bei Spamfiltern zum Einsatz, die bei weitem effektiver sind als Bayesfilter. Auch können Warteschlangenprozesse und Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Objekten in bewegten Systemen ganz einfach berechnet werden. Zudem ist es möglich ein objektives Ranking für das gesamte System anzulegen anhand vieler subjektiven Empfehlungen.

Der PageRank von Google basiert ebenfalls auf Markov Ketten. Klassische Anwendungsmöglichkeiten sind Warteschlangen und Wechelkurse. Auch kann eine Modellierung des Verhaltens einer Talsperre mithilfe einer Markov Chain vorgenommen werden. Ebenfalls möglich ist die Modellierung einer Geschwindigkeitsregelanlage bei Kraftfahrzeugen. Auch die analytische Bewertung von Mobilitätsalgorithmen, wie Random Walk, ist möglich.

Modelliert werden kann auch die Populationsdynamik zu einer Vorhersage von Bevölkerungswachstum von Menschen oder Tieren. Auch die Brownsche Molekularbewegung kann modelliert werden. Besonders relevant sind die statistische Programmierung und die Simulation von Gleichgewichtsverteilungen mit der Software „Statistik Software R“.

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