Satz von Bayes

Was ist der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes ist nach dem englischen Geistlichen Thomas Bayes benannter mathematischer Satz, der aus der Wahrscheinlichkeitstheorie stammt und mit dem Aussagen zum Berechnen von bedingten Wahrscheinlichkeiten gemacht werden.

So geht man von einem ganz bekannten Wert P A ( B ) aus und mit dessen Hilfe kann man P B ( A ) berechnen. Dieser Satz stellt die direkte Verbindung zwischen der bedingten Wahrscheinlichkeit und der umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit her. Dieses Verfahren wird auch als Rückwärtsinduktion bezeichnet. Wichtig ist es, die A-priori-Wahrscheinlichkeit P(A) zu kennen und diese zu berücksichtigen. Der Satz kann nur dann eingesetzt werden, wenn P ( A ) und P ( B ) etwa gleich groß sind.

Der Satz von Bayes, auch Formel von Bayes oder Bayes Theorem genannt, wird auch in der Bayesschen Statistik verwendet und im Rahmen der induktiven Statistik genutzt, um Parameter zu schätzen und zum Testen von den Hypothesen.

Wie lautet der Satz von Bayes?

Der mathematische Satz lautet:

P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B).

Dabei ist P(A|B) ganz genau die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, falls B bereits eingetreten ist. Entsprechend ist P(B|A) ganz einfach die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B, unter der Bedingung, dass A eingetreten ist. P(A) und P(B) sind dabei die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse. Man geht zur Berechnung von dem bekannten Wert P(B|A) aus und ist dabei an dem Wert P(A|B) interessiert. Der Satz von Bayes berechnet die umgekehrte Form der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Welche Anwendungsgebiete gibt es für das Bayes Theorem?

Bei allen Fragen des Lernens aus bestimmten Erfahrungen kann dieser Satz in der Statistik eingesetzt werden. Dies ist bei der A-priori-Wahrscheinlichkeitseinschätzung auf Basis von Erfahrungen möglich, bei der diese verändert und in eine A-posteriori-Verteilung überführt wird (Bayessche Statistik).

Genutzt wird das Bayes Theorem auch im Data-Mining bei Bayes-Klassifikatoren, bei denen theoretische Entscheidungsregeln mit beweisbaren minimalen Fehlerraten genutzt werden. Auch für die Spamerkennung können Bayes-Filter eingesetzt werden. So kann durch charakteristische Wörter in einer E-Mail (Ereignis A) auf die Spam-Eigenschaft (Ereignis B) geschlossen werden.

In der Künstlichen Intelligenz wird der Bayes Satz genutzt, um in Domänen mit nicht-sicherem Wissen Schlussfolgerungen zu ziehen. Damit wird nicht deduktiv gearbeitet und es ist möglich, dass Schlussfolgerungen nicht immer korrekt sind. Es wird also abduktiv vorgegangen. Diese Hypothesenbildung ist sehr nützlich für das Lernen in künstlichen Systemen.

Zudem gibt es Anwendungsgebiete beim Qualitätsmanagement, in der Entscheidungstheorie, der Informationsökonomik, beim Grundmodell der Verkehrsverteilung, in der Bioinformatik, in der Kommunikationstheorie, in der Ökonometrie und in den Neurowissenschaften.

Eingesetzt wird der Satz von Bayes in der Informatik im Bereich von Big Data. Dort gibt es Bayes-Klassifikatoren. Auch in der Bioinformatik und in den Neurowissenschaften gibt es bestimmte Verfahren, die diesen Satz anwenden. Die meisten empirischen Studien können basierend auf Schlussfolgerungen durch diese Regel geführt werden.

Data Navigator Newsletter