Prädikatenlogik erster Stufe

Was ist Prädikatenlogik erster Stufe?

Die Prädikatenlogik erster Stufe oder auch First-Order Logic (FOL) ist eine, an die Mathematik angelehnte Methode, um einem Objekt eindeutige Eigenschaften zuordnen zu können. Dabei wird jeder Satz/Aussage in sein Subjekt und sein Prädikat zerlegt. Die Beziehung zwischen ihnen erfolgt in der Prädikatenlogik erster Stufe durch P(x), wobei P für Prädikat und die Variable x für das entsprechende Subjekt steht.

Zu beachten ist, dass die Prädikate in der First-Order Logic sich nur auf jeweils ein Subjekt beziehen. Anders als in der Sprachwissenschaft ist ein Prädikat nicht zwingend ein Verb, sondern liefert lediglich relevante Informationen über das betreffende Subjekt. Die Verwendung der Prädikate erlaubt es zudem Relationen herzustellen; beispielsweise durch Vergleiche (größer/kleiner als, gleich usw.).

In der Prädikatenlogik erster Stufe werden Quantoren eingesetzt und durch die Symbole ∀ (universeller Quantor; gelesen: „für alle“) und ∃ (Existenzquantor; gelesen: „es existiert“ oder „für einige“) dargestellt. Die Darstellung erfolgt in der First-Order Logic durch mathematische Symbole und besteht aus:

  • Termen: Mensch, Tier, Pflanze etc.
  • Namen von Objekten. Diese können im sprachlichen Sinn sowohl Objekte als auch Subjekte sein!
  • Variablen a, b, c, …, x, y, z etc.

Diese stehen für noch nicht bekannte Objekte.

Prädikate [rot, duftet, ist eine Blume etc.] stehen für Eigenschaften und Relationen, die sprachlich mit Verben oder Attributen vergleichbar sind.

Quantoren [∀, ∃] erlauben Aussagen über Mengen von Objekten, für die das Prädikat gilt.

Beziehungen [∧ (und), ∨ (oder), →(impliziert), ⇒ (daraus folgt), ⇔ (ist äquivalent zu), == (Gleichheits – Operator)] geben Rückschlüsse über Relationen.

Beispiel für eine Prädikatenlogik erster Stufe

Die Rose ist rot.

P(x) = rot(Rose)

Die Rose duftet.

P(x) = duftet(Rose)

Die Rose ist eine Blume.

P(x) = Blume(Rose)

Wir erfahren über die Rose, dass sie rot ist, duftet und eine Blume ist.

Daraus resultiert für ∀:

Alle Rosen sind rot.

Alle Rosen duften.

Alle Rosen sind Blumen.

Es sind jedoch nicht alle Rosen rot und nicht jede Rose duftet.

Dass alle Rosen Blumen sind, ist hingegen eine wahre Aussage.

∀(x) Rose(x) → Blume(x)

Damit die beiden anderen Aussagen auf ihre Richtigkeit hin überprüft werden können, kommen nun Existenzquantoren zum Einsatz.

Aus den beiden Aussagen:

„Alle Rosen sind rot.“ und „Alle Rosen duften.“ werden durch Verwendung von ∃:

„Einige Rosen sind rot.“ und „Einige Rosen duften.“

Um sie in eine Formel erster Ordnung zu übersetzen, müssen wir eine Variable x definieren:

Ein Prädikat A(x), wobei x der Rose entspricht, und einem Prädikat G(x), welches für x ist, rot bzw. duftet.

∃(x) Rose(x) → rot(x)

bzw.

∃(x) Rose(x) → duftet(x)

Dadurch erfährt man, dass es Rosen gibt, die rot sind und Rosen existieren, die duften. Logisch ergibt sich daraus, dass es demnach auch Rosen geben muss, die nicht rot sind bzw. die nicht duften.

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